Algorytm wyboru binarnego. Wyszukiwanie binarne – Wikipedia, wolna encyklopedia

Ciąg ten oznaczamy przez Input. Niektóre z nich były wstępnie omawiane na kursie Metody programowania.

Literatura L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter, Algorytmy i struktury danych, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Literatura Algorytmy i struktury danych, L. Algorytm wyboru binarnego, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, Wprowadzenie do algorytmów, Thomas H. Materiały elektroniczne - wykłady Wstęp: poprawność i złożoność algorytmu Wykład Algorytmy i struktury danych jest poświęcony przede wszystkim koncepcyjnym i strukturalnym metodom efektywnego rozwiązywania problemów na komputerze.

Algorytm wyboru binarnego

Podstawowym elementem przy rozwiązywaniu zadanego problemu jest dobór algorytmu i struktury danych. Najważniejszymi aspektami algorytmu są jego poprawność i złożoność czasowa i pamięciowa. W przypadku złożoności czasowej, z reguły wyróżnimy pewną operację dominującą, a czas będziemy traktować jako liczbę wykonanych operacji dominujących.

W ten sposób nasza analiza będzie zależna jedynie od algorytmu, a nie od implementacji i sprzętu. W przypadku sortowania, operacją dominującą jest przeważnie porównanie dwóch elementów, a w przypadku przeglądania drzewa - jedno przejście w drzewie między wierzchołkami.

W przypadku algorytmów tekstowych operacją dominującą jest porównanie dwóch symboli. Z reguły będziemy przyjmować, że każda operacja arytmetyczna na małych liczbach daje się wykonać w jednym kroku. Złożoność algorytmu może być rozumiana w sensie złożoności najgorszego Algorytm wyboru binarnego lub złożoności średniej.

W praktyce ważniejsza Algorytm wyboru binarnego się okazać złożoność średnia lub oczekiwana. Tego typu złożoność zależy istotnie od tego, jaka się pod tym kryje przestrzeń probabilistyczna danych wejściowych. Z reguły zakładamy, że wszystkie dane wejściowe tego samego rozmiaru mogą się pojawić z tym samym prawdopodobieństwem. Jednakże jest to często mało realistyczne założenie. Przestrzeń probabilistyczna danych wejściowych może być bardzo skomplikowana.

Prowadzić to może do bardzo trudnych i wykraczających poza ten kurs analiz. Rozważmy następujący przykład.

Przypuśćmy, że chcemy znaleźć pierwszą jedynkę w n-elementowej tablicy zerojedynkowej i nasz algorytm przegląda tablicę od strony lewej sprawdzając kolejne elementy.

Niech operacją dominującą będzie sprawdzenie jednego elementu. Jeśli każdy ciąg binarny jest dany z tym samym prawdopodobieństwem, to łatwo policzyć, że złożoność średnia jest ograniczona przez stałą. Były one wprowadzone na wykładach z matematyki dyskretnej.

  • Gdy opcje akcji promocyjnych sa opodatkowane
  • Opcjonalne strategie zapasow
  • Algorytmy i Struktury Danych - Wyszukiwanie binarne
  • Opcje binarne moga naprawde zarabiac pieniadze
  • Wyszukiwanie binarne (artykuł) | Algorytmy | Khan Academy

Jaki jest najlepszy język do opisu algorytmu? Jest to przykład problemu nierozstrzygalnego. Niewątpliwie język ojczysty jest najlepszym językiem potocznym, a ulubiony język programowania jest najlepszym językiem do implementacji algorytmu. Język, którym będziemy opisywać algorytmy, jest gdzieś pomiędzy tymi Algorytm wyboru binarnego - język potoczny nie wystarcza, a konkretny język programowania może spowodować, że "prosty" algorytm się zrobi nieczytelny.

Będziemy używać, o ile się da, nieformalnych konstrukcji programistycznych, a w przypadkach bardzo prostych będziemy się starali pisać algorytm w języku Pascalopodobnym. Poprawność algorytmu: niezmienniki, własność stopu Przez poprawność algorytmu rozumiemy to, że daje on takie odpowiedzi, jakich oczekujemy.

Algorytm wyboru binarnego

Oczywiście algorytm musi być poprawny, aby miało sens rozpatrywanie jego złożoności. Pojęcie niezmiennika Poprawność algorytmu sprowadza się do spełniania określonych niezmienników na różnych etapach wykonywania tego algorytmu. Rozważmy kilka przykładów pozwalających zrozumieć znaczenie niezmiennika. Niektóre z przedmiotów są czarne, a niektóre białe. Zakładamy, że liczba czarnych przedmiotów jest nieparzysta.

Rozpatrzmy niezmiennik: parzystość liczby czarnych przedmiotów.

Ponieważ na początku mamy nieparzystą liczbę czarnych przedmiotów, zatem wynikiem jest kolor czarny. Tym razem rozważmy niezmiennik: znak liczby białych przedmiotów.

Znak liczby jest równy 0, jeśli jest ona równa zeru, 1 - jeśli jest większa od zera. Zatem ostatnim przedmiotem jest przedmiot biały.

Algorytm wyboru binarnego

Własność stopu Jednym z podstawowych elementów poprawności algorytmu jest własność stopu: dla poprawnych danych wejściowych algorytm zatrzymuje się w skończonym czasie.

Na przykładzie czterech krótkich algorytmów pokażemy, że sprawdzanie własności stopu Algorytm wyboru binarnego nie być czynnością trywialną. W przypadku liczb pięciocyfrowych nie ma takiej pojedyńczej liczby. Rozpatrzmy następujący algorytm zaprojektowany podobno przez Fibonacciego na rozkład ułamka na sumę parami różnych ułamków Egipskich, tzn. Innym przykładem związanym z ułamkami jest Algorytm wyboru binarnego algorytm.

W pierwszym przypadku niezmiennikiem jest wartość sumy odwrotności elementów zbioru X, w drugim przypadku jeśli do odwrotności każdego elementu dodamy 1, to wartość iloczynu otrzymanych liczb jest niezmiennikiem.

Rozpatrzmy jeszcze jeden ciekawy przykład związany z własnością stopu. Nasz obecny algorytm jednocześnie dla każdej pozycji zmieniai jej wartość na wartość różnicy między wartością na danej pozycji i cyklicznie następnej.

Pozostawiamy jako ćwiczenie znalezienie najkrótszego koncepcyjnie dowodu własności stopu dwu pierwszych algorytmów nie chodzi nam tu o brutalny dowód polegający na sprawdzeniu wszystkich przypadków przez komputer.

Algorytm Ciąg-cykliczny, pomimo swojej prostoty, ma nietrywialą własność stopu dla ciągu o długości będącej potęgą dwójki. Następny algorytm jest bardziej abstrakcyjny.

Pochodzi on od Collatza jak również od polskiego matematyka Ulama. Problem ten postawił L. Jeśli zamiast zapisu dziesiętnego weźmiemy binarny to algorytm nie zawsze ma własność stopu, np. Opis algorytmu za pomocą niezmienników Niezmienniki są często podstawową konstrukcji algorytmu na poziomie koncepcyjnym. Opisujemy jedynie co dana część algorytmu ma wykonać w sensie zachowania odpowiedniego niezmiennika. Reszta jest czasami prostą sprawą natury inżynieryjno-technicznej.

Algorytm wykonuje swoje zadanie startując od zbiorów pustych i zwiększając zbiory. Chcemy aby algorytm działał w miejscu dodatkowa pamięć stała i w każdej iteracji wykonywał stałą liczbę operacji.

Algorytmy i struktury danych

Możliwe są różne scenariusze tego algorytmu poprzez dospecyfikowanie niezmiennika. Na przykład możemy zażądąc aby zbiory M,R,W były sąsiednimi przedziałami, tworzącymi razem sufiks lub prefiks tablicy, lub aby M było prefiksem a W sufiksem tablicy.

Otrzymamy różne algorytmy w pewnym sensie izomorficzne. Naturalnym jest aby zażądać, by każdy ze zbiorów M, R, W był przedziałem, nawet jeśli tego nie zażądamy to tak będzie po zakończeniu algorytmu. Jeśli zbiory są przedziałami to pojedyńcza iteracja polega na manipulacji w okolicy końców przedziałów. Możemy problem ouogólnić i segregować tablicę względem większej liczby elementów, np.

Algorytm wyboru binarnego

Dokładne analizy pozostawiamy jako ćwiczenia. Algorytm 1.

Algorytm wyboru binarnego

Przywódca ciągu Przywódcą ciągu jest element, który występuje w ciągu więcej razy niż połowa długości tego ciągu. Dla uproszczenia przyjmijmy, że w tym ciągu jest przywódca.

Łatwo zmodyfikować algorytm tak, by sprawdzał istnienie przywódcy. W tym przypadku potrzebne są cztery liczniki odpowiadające czterem kandydatom na słabego przywódcę. Algorytm liczy element, który jest kandydatem na słabego Algorytm wyboru binarnego jeśli istnieje taki przywódca, to na pewno jest nim wyliczony element. Jeśli istnieje słaby przywódca i mamy pięć różnych elementów, to można je usunąć bez zmiany wyniku. Pozostawiamy napisanie odpowiedniego algorytmu jako ćwiczenie. Podamy potem również rozwiązanie metodą "dziel i zwyciężaj".

W animacji Algorytm wyboru binarnego żółtym na końcu jest zaznaczony licznik słabego przywódcy, a jego nazwa jest umieszczona w niebieskim kwadraciku.

Wyszukiwanie binarne

Algorytm 2. Algorytm 3. Algorytm 4.

Literatura L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter, Algorytmy i struktury danych, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, Thomas H.

Opiszemy teraz nieformalnie alternatywny algorytm korzystajacy ze stosu. Zamiast indeksu lewego sasiada bedziemy teraz liczyc wartosc lewego Algorytm wyboru binarnego, inaczej mowiac liczymy pierwsza wartosc na lewo mniejsza od danej wartosci. Niech y oznacza element na wierzcholku stosu. Czytamy kolejne elementy. W tym momencie znajdujemy lewego sasiada x, jego wartoscia jest y.

Algorytm wyboru binarnego

Wrzucamy x na stos. Zalozmy ze A jest permutacja liczb 1,2. Wtedy mozliwy jest jeszcze inny algorytm liniowy. Trzymamy elementy tablicy w liscie dwukierunkowej. Nastepnie element k usuwamy z listy. Algorytm 5. Najdalszy mniejszy sąsiad w permutacji W tym algorytmie zakładamy Algorytm wyboru binarnego na wejściu jest Algorytm wyboru binarnego A elementów od 1 do n. W trakcie algorytmu obliczamy tablicę Pozycja, będącą odwrotościa permutacji. Jego wadą jest ograniczenie się do permutacji.